Задача Кейли

В задаче Кейли рассматривается движение тяжёлой цепи, находящейся на краю горизонтальной плоскости, вызванное свисанием малого участка цепи. Считается, что вся цепь, кроме свисающего участка неподвижна и сосредоточена в одной точке, при этом цепь считается нерастяжимой. Введём прямоугольную декартову систему координат, связанную с покоящимся концом цепочки. Пусть длина покоящейся части цепи зависит от времени по закону l₁(t). Пусть координаты любой точки цепи имеют вид x(l,t), y(l,t), где l – длина участка цепи от покоящегося конца до этой точки. В силу нерастяжимости цепи (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1. Само по себе это условие не противоречит сосредоточенности цепи в одной точке. Например, зависимости x = r cos (l/r), y = r sin (l/r) при устремлении r к нулю позволяют уменьшить область координат, занятую цепью до сколь угодно малых размеров. Для точки цепочки, которая находится на границе покоящейся части в данный момент времени, выполняются соотношения: x(l₁(t),t)=0, y(l₁(t),t)=0, (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0, (∂y/∂t) (l₁(t),t)=0. Дифференцируя первое соотношение, получим (∂x/∂l) l₁’(t) + (∂x/∂t) = 0, с учётом (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0 отсюда следует, (∂x/∂l) l₁’(t) = 0 при l=l₁(t). Аналогично доказывается (∂y/∂l) l₁’(t) = 0. Возводя эти соотношения в квадрат и складывая, получим ((∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²) (l₁’(t))²=0. С учётом условия неразрывности (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1 отсюда следует l₁’(t) = 0, l₁=const. Таким образом, из сосредоточенности и нерастяжимости покоящейся части верёвки следует, что длина этой части является постоянной. Это приводит нас к тому, что задача Кейли является неполной.