Складываемый коврик

В статье А. Рыбакова "Сохранение импульса, уравнение Мещерского и банджи-джампинг" (см., например, http://elementy.ru/lib/431740) приводится олимпиадная задача о складываемом коврике:

Узкий длинный ковер (ковровая дорожка) лежит на полу. Конец ковра загибают и тянут назад со скоростью v. Масса единицы длины ковра равна ρ. Какую силу F прикладывают к концу ковра?

Автор статьи применяет закон сохранения импульса в форме уравнения Мещерского и получает, что сила с которой тянут равна F = ρv2/2. Проверка закона сохранения энергии, показывает, что половина работы этой силы теряется. Автор делает вывод, что "массивные гибкие связи нельзя считать идеальными — при движении точки перегиба мы обязательно теряем заметную часть механической энергии".

То, что в этой задаче есть неоднозначность, было замечено впервые не мной (см., например, комментарии к английскому изданию, где была опубликована эта задача, на странице http://www.amazon.co.uk/review/R1R2EAOKNGHL9R)

Ниже приводится решение данной задачи, не противоречащее ни закону сохранения импульса, ни закону сохранения энергии. Решение основано на двух предположениях о характере движения коврика, которые не противоречат решению Рыбакова.

Предположение первое: форма поверхности изгиба не меняется при движении коврика

x(y) = x1(y) + vt/2

dx = v/2 dt + dx1

dx1 = x1' dy

dx12 + dy2 = (v/2 dt)2

dy = v dt / (2 √(1+x1'2))

dx1 = v x1' dt / (2 √(1+x1'2))

dx = v/2 dt  (1 + x1' / √(1+x1'2))

vx = v/2 (1 + x1' / √(1+x1'2))

ax = dvx/dy · dy/dt = dvx/dy · v / (2 √(1+x1'2))

dm = ρ dl = ρ √(1+x1'2) dy

dFx = dm ax = ρ √(1+x1'2) dy · dvx/dy · v / (2 √(1+x1'2)) ⇒ dFx/dy = ρ v/2 · dvx/dy

Fx = C + ρv/2 vx = C1 + ρv2/4 · x1' / √(1+x1'2)

x1'(0)=–∞

x1'(h)=∞

Fx(y=0) = C1 – ρv2/4 = –Fтр

Fx(y=h) = C1 + ρv2/4 = F

Предположение второе: при x1'=0, Fx=0 (то есть в крайней левой точке коврика, где касательная к коврику вертикальна, сила натяжения направлена вертикально)

Тогда C1=0 и F = Fтр = ρv2/4

Закон сохранения импульса

F + Fтр = ρv2/2

Закон сохранения энергии

Fv = ρv2/2 · v/2

Проблема в решении у Рыбакова — в неучёте силы трения.

Если бы не было силы трения, то нижний кончик бы выскользнул из под верхнего.

Это происходит в реальном эксперименте, когда нижний кончик становится достаточно коротким.