Расчет времени ускорения

Пусть мощность (полезная) двигателя P, масса тела m, а коэффициент сопротивления (отношение силы сопротивления к скорости) k. Начальная скорость тела равна нулю. Нужно определить, как будет зависеть скорость от времени и за какое время скорость станет равной или приблизится к максимальному значению?

Дифференциальное уравнение для изменения скорости в этом случае вытекает из формул:
P = Fт v
Fс = k v
m dv/dt = Fт – Fс = P/v – k v
Это уравнение вида v'(t) = f(v), в котором можно разделить переменные:
dt = m dv / (P/v – k v) = m v dv / (P – k v^2) = – m/(2k) d(P/k – v^2) / (P/k – v^2) = – m/(2k) d(ln(P/k – v^2))
d(t + m/(2k) ln(P/k – v^2)) = 0
Так как начальная скорость равна нулю, то
t + m/(2k) ln(P/k – v^2) = m/(2k) ln(P/k)
t = – m/(2k) ln(1 – k v^2 / P)
k v^2 / P = 1 – exp(–2kt/m)
v = sqrt(P(1 – exp(–2kt/m))/k)

График  v sqrt(k/P) от kt/m не зависит от значений параметров и имеет следующий вид:



Как видно из графика, характерное значение kt/m для выхода на постоянную скорость составляет несколько единиц, возьмём 2, поэтому характерное время выхода на постоянную скорость составляет 2m/k.
Для t = 2m/k скорость составляет примерно 99% от максимальной.