Расчет времени ускорения

Пусть мощность (полезная) двигателя P, масса тела m, а коэффициент сопротивления (отношение силы сопротивления к скорости) k. Начальная скорость тела равна нулю. Нужно определить, как будет зависеть скорость от времени и за какое время скорость станет равной или приблизится к максимальному значению?

Дифференциальное уравнение для изменения скорости в этом случае вытекает из формул:
P = Fт v
Fс = k v
m dv/dt = Fт – Fс = P/v – k v
Это уравнение вида v'(t) = f(v), в котором можно разделить переменные:
dt = m dv / (P/v – k v) = m v dv / (P – k v^2) = – m/(2k) d(P/k – v^2) / (P/k – v^2) = – m/(2k) d(ln(P/k – v^2))
d(t + m/(2k) ln(P/k – v^2)) = 0
Так как начальная скорость равна нулю, то
t + m/(2k) ln(P/k – v^2) = m/(2k) ln(P/k)
t = – m/(2k) ln(1 – k v^2 / P)
k v^2 / P = 1 – exp(–2kt/m)
v = sqrt(P(1 – exp(–2kt/m))/k)

График  v sqrt(k/P) от kt/m не зависит от значений параметров и имеет следующий вид:



Как видно из графика, характерное значение kt/m для выхода на постоянную скорость составляет несколько единиц, возьмём 2, поэтому характерное время выхода на постоянную скорость составляет 2m/k.
Для t = 2m/k скорость составляет примерно 99% от максимальной.

Влияние накипи на время нагрева чайника до кипения

У нас есть спираль (параметры P, C_1, T_1), вода (C_2, T_2), воздух T_0
Теплообмен между спиралью и водой описывается коэффициентом a_1, между водой и воздухом – a_2
Уравнения изменения температур
(C_1 dT_1)/dt= P – a_1 (T_1-T_2 )
(C_2 dT_2)/dt= a_1 (T_1-T_2 )-a_2 (T_2-T_0 )
T_1 (t=0)=T_0, T_2 (t=0)=T_0, T_2 (t=t_b )= T_b (кипение)
 С учётом накипи
a_1=(a_10 a_нак)/(a_10+ a_нак )
a_нак=λS/d
Оценим параметры:
C_1 = 60 Дж/К (*соответствует стальной спирали с диаметром 1 см и длиной 20 см*)
C_2 = 4200 Дж/К (*соответствует 1 кг воды*)
P = 1500 Вт
a_10 = 300 Вт/К
a_2 = 0,1 Вт/К
T_0 = 20 °C
T_b = 100 °C
λ = 1 Вт/(м•К)
S = 0,006 м^2
Посмотрим, как зависит время нагрева t_b (с) от толщины накипи (м) при этих условиях:

Расход времени и электроэнергии зависит от толщины накипи примерно линейно.
Расход увеличивается на 10 % при накипи толщиной в 4 мм (оценка).

Задача Кейли

В задаче Кейли рассматривается движение тяжёлой цепи, находящейся на краю горизонтальной плоскости, вызванное свисанием малого участка цепи. Считается, что вся цепь, кроме свисающего участка неподвижна и сосредоточена в одной точке, при этом цепь считается нерастяжимой. Введём прямоугольную декартову систему координат, связанную с покоящимся концом цепочки. Пусть длина покоящейся части цепи зависит от времени по закону l₁(t). Пусть координаты любой точки цепи имеют вид x(l,t), y(l,t), где l – длина участка цепи от покоящегося конца до этой точки. В силу нерастяжимости цепи (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1. Само по себе это условие не противоречит сосредоточенности цепи в одной точке. Например, зависимости x = r cos (l/r), y = r sin (l/r) при устремлении r к нулю позволяют уменьшить область координат, занятую цепью до сколь угодно малых размеров. Для точки цепочки, которая находится на границе покоящейся части в данный момент времени, выполняются соотношения: x(l₁(t),t)=0, y(l₁(t),t)=0, (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0, (∂y/∂t) (l₁(t),t)=0. Дифференцируя первое соотношение, получим (∂x/∂l) l₁’(t) + (∂x/∂t) = 0, с учётом (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0 отсюда следует, (∂x/∂l) l₁’(t) = 0 при l=l₁(t). Аналогично доказывается (∂y/∂l) l₁’(t) = 0. Возводя эти соотношения в квадрат и складывая, получим ((∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²) (l₁’(t))²=0. С учётом условия неразрывности (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1 отсюда следует l₁’(t) = 0, l₁=const. Таким образом, из сосредоточенности и нерастяжимости покоящейся части верёвки следует, что длина этой части является постоянной. Это приводит нас к тому, что задача Кейли является неполной.

Складываемый коврик

В статье А. Рыбакова "Сохранение импульса, уравнение Мещерского и банджи-джампинг" (см., например, http://elementy.ru/lib/431740) приводится олимпиадная задача о складываемом коврике:

Узкий длинный ковер (ковровая дорожка) лежит на полу. Конец ковра загибают и тянут назад со скоростью v. Масса единицы длины ковра равна ρ. Какую силу F прикладывают к концу ковра?

Автор статьи применяет закон сохранения импульса в форме уравнения Мещерского и получает, что сила с которой тянут равна F = ρv2/2. Проверка закона сохранения энергии, показывает, что половина работы этой силы теряется. Автор делает вывод, что "массивные гибкие связи нельзя считать идеальными — при движении точки перегиба мы обязательно теряем заметную часть механической энергии".

То, что в этой задаче есть неоднозначность, было замечено впервые не мной (см., например, комментарии к английскому изданию, где была опубликована эта задача, на странице http://www.amazon.co.uk/review/R1R2EAOKNGHL9R)

Ниже приводится решение данной задачи, не противоречащее ни закону сохранения импульса, ни закону сохранения энергии. Решение основано на двух предположениях о характере движения коврика, которые не противоречат решению Рыбакова.

Предположение первое: форма поверхности изгиба не меняется при движении коврика

x(y) = x1(y) + vt/2

dx = v/2 dt + dx1

dx1 = x1' dy

dx12 + dy2 = (v/2 dt)2

dy = v dt / (2 √(1+x1'2))

dx1 = v x1' dt / (2 √(1+x1'2))

dx = v/2 dt  (1 + x1' / √(1+x1'2))

vx = v/2 (1 + x1' / √(1+x1'2))

ax = dvx/dy · dy/dt = dvx/dy · v / (2 √(1+x1'2))

dm = ρ dl = ρ √(1+x1'2) dy

dFx = dm ax = ρ √(1+x1'2) dy · dvx/dy · v / (2 √(1+x1'2)) ⇒ dFx/dy = ρ v/2 · dvx/dy

Fx = C + ρv/2 vx = C1 + ρv2/4 · x1' / √(1+x1'2)

x1'(0)=–∞

x1'(h)=∞

Fx(y=0) = C1 – ρv2/4 = –Fтр

Fx(y=h) = C1 + ρv2/4 = F

Предположение второе: при x1'=0, Fx=0 (то есть в крайней левой точке коврика, где касательная к коврику вертикальна, сила натяжения направлена вертикально)

Тогда C1=0 и F = Fтр = ρv2/4

Закон сохранения импульса

F + Fтр = ρv2/2

Закон сохранения энергии

Fv = ρv2/2 · v/2

Проблема в решении у Рыбакова — в неучёте силы трения.

Если бы не было силы трения, то нижний кончик бы выскользнул из под верхнего.

Это происходит в реальном эксперименте, когда нижний кончик становится достаточно коротким.

Архипов

Попалось на глаза интересное название «книги»: Закон распределения и перераспределения энергии.

Помимо лженауки, там есть и перлы. Такое ощущение, что они оставлены специально. Вот из Введения:

Теоретическая работа имеет прикладной характер и выполнена под математической оболочкой для исключения ошибок логического мышления человека.

...

Известно, что до 60 годов значения графиков функций практиковались в науке, и их выводы всегд подтверждались экспериментально, но, в связи со сложностью работ, наука от них отказалась. Это была ошибка.

В науке нет лёгких путей, а будет ещё труднее при использовании более сложных математических приёмов (самым сложным математическим приёмом в книге, таки не позволившим мне её осилить, было взятие цифр с потолка — примечание И.К.).

...

все дисциплины и направления в естествознании – равноправны, и от каждого направления есть пять ответвлений, от которых в свою очередь есть ещё пять и так далее по цепной реакции. Для развития научно-технического прогресса на Земле и сохранения всех тел в природе, необходимо много учиться и много работать.

Гори, гори, моя звезда...

Гори, гори, моя звезда,
Мой свет, далёкий, но бесценный.
Тебе лишь верю я тогда,
Когда приходит час сомнений.
Ты мне укажешь верный путь,
Когда врата почти закрылись,
Меня твой ободряет луч,
Когда и руки опустились.
В тот час, когда кругом темно,
Ты одаряешь щедро светом,
С тобой совсем не тяжело
Быть тёплым под холодным ветром.
Когда наступит смерть моя,
Твой свет мою очистит душу,
И с блеском твоего луча
Я Вечный суд пройти не струшу.
Когда же кончен будет суд,
Приму я тихо свою участь
И завершу свой скорбный труд
Не ноя, не скуля, не мучась.

О разделении топливных затрат

Проблема разделения топливных затрат. При совместном производстве теплоты и электроэнергии уравнение топливно-энергетического баланса имеет вид
B=b_эЭ+b_тQ,
где B — расход топлива, Э — производство электроэнергии, Q — производство теплоты, b_э — расход топлива на производство единицы электроэнергии, b_т — расход топлива на производство единицы теплоты.
Проблема в том, что даже зная B, Э, Q, мы не можем однозначно найти b_э и b_т, а значит не можем найти и b_эЭ и b_тQ, то есть определить, сколько топлива пошло на производство электроэнергии, а сколько — на производство теплоты.
Определение значений коэффициентов b_э и b_т может осуществляться по-разному, что соответствует разным методам разделения топливных затрат.

Для чего нужно разделять топливные затраты? В социально-ориентированной экономике тарифы образуются не рынком, а производителями энергии с учётом ограничений регулирующих органов. Для того чтобы обеспечить справедливое тарифообразование, нужно знать, сколько топлива пошло на производство электроэнергии, а сколько — на производство тепла.
В рыночной экономике разделение затрат топлива тоже полезно, оно может использоваться для сравнения рентабельности производства электроэнергии и теплоты, и, возможно, для оценки эффективности реструктуризации.
Физический метод разделения затрат. Исследуя внутреннюю структуру устройства, практически никогда нельзя определить, какая часть топлива идёт на производство отпускаемой потребителям теплоты, а какая часть топлива — на производство электроэнергии. Но почти всегда электроэнергия производится из химической энергии топлива через теплоту, как промежуточную форму энергии.
Электроэнергия и теплота — не взаимозаменяемые формы энергии. Так, имея 1 кДж электроэнергии, мы можем получить почти 1 кДж теплоты. Но имея 1 кДж теплоты, мы не получим 1 кДж электроэнергии. Поэтому более справедливой является установка значения коэффициента b_э большим, чем значение коэффициента b_т.
Физическим методом разделения затрат называют метод, при котором отношение коэффициентов b_э/b_т=q, где q — расход теплоты на производство единицы электроэнергии. Этот метод обоснован тем, что электроэнергия в самом устройстве производится из теплоты. Однако применение этого метода на практике требует знания величины q для конкретного устройства.

Определение величины q экспериментальным путём. Определить эту величину можно экспериментально, меняя соотношение производства электроэнергии и теплоты в устройстве. Пусть в штатном режиме работы устройства расход топлива равен B₁, производство теплоты Q₁, производство электроэнергии Э₁. Пусть при некотором не слишком большом изменении режима работы устройства расход топлива равен B₂, производство теплоты Q₂, производство электроэнергии Э₂. Тогда уравнения топливного баланса имеют следующий вид:
B₁=b_эЭ₁+b_тQ₁=b_т (q Э₁+Q₁),
B₂=b_т (q Э₂+Q₂).
Отсюда можно выразить
q=(B₂Q₁–B₁Q₂)/(B₁Э₂–B₂Э₁). (1)
Для определения q необходимо, чтобы изменение режима сопровождалось изменением соотношения между производством теплоты и электроэнергии Э₁/Q₁ ≠ Э₂/Q₂.
Изменение режима должно быть достаточно заметным, чтобы определить q по формуле (1) с наименьшей погрешностью, но при этом недостаточно большим, чтобы существенно повлиять на саму величину q.
Для того чтобы не проводить отдельно измерения q для всех устройств, можно нормативно закрепить значения q по классам устройств. Но эти нормативно закрепляемые значения q должны быть экспериментально обоснованы.

Экономический метод разделения затрат. Другим методом разделения затрат является метод, основанный на замещении. Суть его в том, что отношение q=b_э/b_т определяется как отношение b_э.зам/b_т.зам, где b_э.зам — расход топлива на производство единицы электроэнергии в альтернативном устройстве, не производящем теплоты, b_т.зам — расход топлива на производство единицы теплоты в альтернативном устройстве, не производящем электроэнергии. При этом все физические особенности данного конкретного устройства, производящего одновременно теплоту и электроэнергию нивелируются, учитывается только возможность получения того же выхода электроэнергии и теплоты другим путём, то есть реструктуризации. Поэтому этот метод идеологически ближе к рыночной экономике, где цена производства энергии учитывает не только затраты производителя, но и возможность получения того же результата другим путём.

Социальный подход к тарифообразованию. Существует ещё один подход, в котором учитывается роль потребителей в процессе тарифообразования. Суть его в том, что не имеет смысла производить электроэнергии или теплоты больше, чем может быть потреблено, поэтому отношение производимых теплоты и электроэнергии Q/Э должно соответствовать (в пределе — быть равно) отношению потребляемых теплоты и электроэнергии Q'/Э'.
Но заранее трудно определить каким будет отношение потребляемых теплоты и электроэнергии. Во-первых, это отношение меняется в зависимости от сезона, во-вторых, зависит от текущих тарифов, и, наконец, предпочтения потребителей могут показывать устойчивое изменение в одном направлении.
В случае перекоса отношения производимых теплоты и электроэнергии по сравнению с потребляемыми с целью уменьшения издержек по реализации избыточной электроэнергии или теплоты выгодно изменять отношение q так, чтобы вследствие этого изменялись тарифы, стимулируя потребителей к уравниванию отношения потребляемых электроэнергии и теплоты к отношению производимых электроэнергии и теплоты. Это верно как для рыночной, так и для социально-ориентированной экономики, поскольку такое стимулирование может вести к уменьшению издержек как производителя, так и потребителя энергии.