История возникновения алгебры

Суть алгебры

Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и через посредство чисел – о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин, как таковых, независимо от того, к каким конкретным приложениям они способны. Различие между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, между тем как алгебра занимается изучением общих величин, значение которых может быть произвольное, а, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общи всем величинам, независимо от их значений. Таким образом, алгебра есть обобщенная арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свой трактат об алгебре "Общая арифметика". Гамильтон, полагая, что подобно тому, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру "Наукою чистого времени" – название, которое Морган предлагал изменить на "Исчисление последовательности". Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни исторического ее развития. Алгебру можно определить как "науку о количественных соотношениях".

Деление алгебры

В настоящее время, отчасти из педагогических соображений, отчасти вследствие исторического развития этой науки, алгебру делят на низшую и высшую. К низшей алгебре относят теорию простейших арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теорию степеней и корней, теорию логарифмов и комбинаторику. К высшей алгебре относят теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметрических функций, теорию подстановок, и, наконец, изложение различных частных способов отделения корней уравнений, определения числа вещественных или мнимых корней данного уравнения с численными коэффициентами, и приближённое или аналитическое (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.

История алгебры

Происхождение термина "алгебра"

Происхождение самого слова "алгебра" не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово "алгебра" произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово "алгоритм") "Аль-джабр-аль-мукабалла", то есть "учение о перестановках, отношениях и решениях", но некоторые авторы производят слово "алгебра"от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению.

Древнейшие сочинения по алгебре

Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам неизвестно о каких бы то ни было иных сочинениях об алгебре в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона, Гипатии.

Алгебра арабов

В Европе алгебра снова появляется только в эпоху Возрождения, и именно от арабов. Каким образом арабы дошли до тех истин, которые мы находим в их сочинениях, дошедших до нас в большом количестве, – неизвестно. Они могли быть знакомы с трактатами греков, или, как думают некоторые, получить свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры. Магоммеду-бен-Муза, жившему около середины IХ-го века в царствованние халифа Аль-Мамуна. Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние сочинения по всем отраслям наук. Магоммед-Абульвефа перевел и комментировал сочинения Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в Х веке). Но ни он, ни другие арабские математики не внесли много нового, своего в алгебру. Они изучали ее, но не совершенствовали.

Возрождение алгебры в Европе

Первым сочинением, появившимся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческим делам на Востоке, ознакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) цифрами, и с арифметикой и алгеброй арабов. По возвращении в Италию, он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и алгебру и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения в истории науки, ибо осталось мало известным и было открыто вновь только в середине 18-го века в одной Флорентийской библиотеке. Между тем сочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что старейшее арабское сочинение об алгебре Магоммеда-бен-Музы было переведено на итальянский язык, но перевод этот не сохранился до нашего времени. Первым известным печатным трактатом об алгебре является "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita", написанное итальянцем Лукасом дэ Бурго. Первое издание его вышло в 1494 г. и второе в 1523 г. Оно указывает нам, в каком состоянии находилась алгебра в начале XVI века в Европе. Здесь нельзя видеть больших успехов по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения отдельных частных вопросов высшей арифметики, только уравнения первой к второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствия символического обозначения, все задачи и способы их решения приходится излагать словами, чрезвычайно пространно. Наконец нет общих решений даже квадратного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится особый метод решения, так что самая существенная черта современной А. – общность даваемых ею решений – еще совершенно отсутствует в начале XVI века.

Решение уравнений 3-ей и 4-ой степени

В 1505 году Сципион Феррео впервые решил один частный случай кубического уравнения. Это решение однако не было им опубликовано, но было сообщено одному ученику – Флориде. Последний, находясь в 1535 году в Венеции, вызвал на состязание уже известного в то время математика Тарталью из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для разрешения которых нужно было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не только одного того частного случая, который был решен Феррео, но и двух других частных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Флориде также свои задачи. Результатом состязания было полное поражение Флориде. Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, между тем как Флориде не мог решить ни одной задачи, предложенной ему его противником (число предложенных с обеих сторон задач было 30). Тарталья продолжал, подобно Феррео, скрывать свое открытие, которое очень интересовало Кардано, профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к печати обширное сочинение об арифметике, алгебре и геометрии, в котором он хотел дать также решение уравнений 3-ей степени. Но Тарталья отказывался сообщить ему о своем способе. Только когда Кардано поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что он не откроет способа Тартальи для решения уравнений и запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья согласился, после долгих колебаний, раскрыть свою тайну любопытному математику и показал ему правила решений кубических уравнений, изложенные в стихах, довольно туманно. Остроумный Кардано не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел доказательства для них. Не взирая, однако, на данное им обещание, он опубликовал способ Тартальи, и способ этот известен до сих пор под именем "формулы Кардано".

Вскоре было открыто и решение уравнений четвертой степени. Один итальянский математик предложил задачу, для решения которой известные до той поры правила были недостаточны, а требовалось умение решать биквадратные уравнения. Большинство математиков считало эту задачу неразрешимою. Но Кардано предложил ее своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решать уравнения четвертой степени вообще, сводя их к уравнениям третьей степени. В сочинении Тартальи, напечатанном в 1546 году, мы также находим изложение способа решать не только уравнения первой и второй степени, но и кубические уравнения, причем рассказывается инцидент между автором и Кардано, описанный выше. Сочинение Бомбелли, вышедшее в 1572 г., интересно в том отношении, что рассматривает так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который приводил в смущение Кардано, не сумевшего решить его посредством своего правила, а также указывает на связь этого случая с классическою задачей о трисекции угла.

Развитие алгебры в странах Европы

В Германии первое сочинение об алгебре принадлежит Христиану Рудольфу из Иayepa, и появилось впервые в 1524 г. а затем вновь издано Стифелем в 1571 г. Сам Стифель и Шейбль, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.

В Англии первый трактат об алгебре принадлежит Роберту Рекорду, преподавателю математики и медицины в Кембридже. Его сочинение об алгебре называется "The Whetstone of Wit". Здесь впервые вводится знак равенства (=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об алгебре, принадлежащее Пелетариусу; в Голландии Стевин в 1585 г. не только изложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он уже обозначал неизвестные. Правда, для обозначения неизвестных он использовал всего лишь числа, обведенные в кружочек. Так первая неизвестная (теперь обычно обозначаемая x) у него обозначалась обведенной в кружочек единицей, вторая – обведенной двойкой, и так далее. Громадные успехи сделала алгебра после сочинений Виета, который первый рассмотрел общие свойства для уравнений произвольных степеней и показал способы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни было алгебраических уравнений. Он же первый обозначил величины, входящие в уравнения буквами, и тем придал алгебре ту общность, которая составляет характеристическую особенность алгебраических исследований нового времени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома, найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно даже встретить разложение отношения стороны квадрата вписанного в круг к дуге круга, выраженное в виде бесконечного произведения. Фламандец Албер Жирар или Жерар, трактат которого об алгебре появился в 1629 г. первый ввел понятие мнимых величин в науку. Агличанин Гарриот показал, что всякое уравнение может рассматриваться, как произведение некоторого числа множителей первого порядка, и ввел в употребление знаки > и <. Его труды были опубликованы в 1631 г. Варнером.

Приобретение алгеброй законченного вида

После этих сравнительно незначительных успехов алгебра вдруг движется быстрыми шагами вперед, благодаря работам Декарта, Фермата, Валлиса и в особенности Ньютона, не говоря уже о множестве математиков менее знаменитых, но все же подвинувших совокупными усилиями алгебру в течение сравнительно короткого времени на значительную степень выше их предшественников и придавших ей ту форму, которую она сохранила до настоящего времени. Нет возможности в этом кратком очерке обозреть успехи, которым алгебра обязана названным математикам. Мы вкратце только упомянем о главных пунктах дальнейшего быстрого совершенствования алгебры, шедшего шаг за шагом за совершенствованием иных отраслей математики вообще. С этого времени также алгебра входит в более тесную связь с геометрией, после разработки Декартом аналитической геометрии, а также с анализом бесконечно малых, изобретенным Ньютоном и Лейбницем. В XVIII столетии классические труды Эйлера и Лагранжа, изложенные в "Novi Commentarii" первого и в "Traite de la resolution des equations" второго, довели алгебру до высокой степени совершенства. Позже работы Гаусса, Абеля, Фурье, Галуа, Коши, а затем Кейли, Сильвестера, Кронекера, Эрмита и др. создали новые точки зрения на важнейшие алгебраические вопросы и придали алгебре высокую степень изящества и простоты.

Приложение

Некоторые математические знаки и даты их возникновения

Обозначение	Значение	Автор	Дата
π	Отношение длины окружности к диаметру	У. Джонс Л. Эйлер	1706 1736
e	Основание натурального логарифма	Л. Эйлер	1736
i	Корень квадратный из –1	Л. Эйлер	1777
∞	Бесконечность	Дж. Валлис	1655
a, b, c	Постоянные, параметры	Р. Декарт	1637
x, y, z	Переменные, неизвестные	Р. Декарт	1637
+, –	Сложение, вычитание	Я. Видман	1489
×	Умножение	У. Оутред	1631
·	Умножение	Г. Лейбниц	1698
:	Деление	Р.Декарт Г. Лейбниц	1637 1684
a2, a3, an	Степени	И. Ньютон	1676
|x|	Модуль числа	К. Вейерштрасс	1841
=	Равенство	Р. Рекорд	1557
≈	Приближенное равенство	А. Гюнтер	1882
>, <	Больше, меньше	Т. Гарриот	1631
⋃,⋂	Объединение, пересечение	Дж. Пеано	1888
⊃,⊂	Включает, содержится	Э. Шредер	1890
∊	Принадлежность	Дж. Пеано	1895

Удаление сайтов

У меня было два неподдерживаемых сайта, один на платформе narod.ru (которая перешла к ucoz.ru),  второй на платформе sites.google.com. Я решил их удалить. Наиболее интересные страницы с этого сайта я буду публиковать в формате блога сюда.

Немного задач

Есть квадратная таблица n × n. В некоторых ячейках стоят крестики. Каждый крестик является единственным в своей строке или в своём столбце (или и там, и там). Какое максимальное число крестиков может стоять в таблице?

Разделим все крестики на строчные (единственные в своей строке) и столбцовые (единственные в своём столбце).

Если общее число крестиков больше n, то есть как минимум одна строка с двумя крестиками и как минимум один столбец с двумя крестиками. Следовательно, число строчных крестиков не больше n–1 и число столбцовых крестиков не больше n–1. Следовательно, общее число крестиков в этом случае ее больше 2n–2.

Если общее число крестиков не больше n, такого ограничения нет. Поэтому общее число крестиков равно максимальному из чисел n и 2n–2.

Общее число крестиков не больше n при n ≤ 2 и 2n–2 при n ≥ 2.

Доказательство возможности достижения такого числа крестиков:

Чтобы достигнуть n крестиков, нужно просто поставить все крестики в одну строку или в один столбец.

Чтобы достигнуть 2n-2 крестиков, нужно заполнить одну любую строку и один любой столбец крестиками, но не заполнять общую ячейку этих строки и столбца.

ABCD — квадрат, BE=EC, отрезок EA пересекает BC, угол EAD = 75°. Какова градусная мера угла BEC?

Строим равносторонний треугольник AOD на стороне AD так, что отрезок OD пересекает AC. Тогда угол EAO = AEO = 15° ⇒ OE=AO=AB ⇒ ABEO — параллелограмм ⇒ BE=EC=BC ⇒ угол BEC = 60°

На полке стоят 666 книг по белой и чёрной магии. Никакие две из книг по белой магии не стоят через 13 книг. Какое максимальное число книг по белой магии может стоять на полке?

Пронумеруем книги на полке от одного края. Книги с номерами i и i+14 не могут быть одновременно книгами по белой магии. Обозначим число книг по белой магии имеющих номера с 14k–13 по 14k при k от 1 до 46, как Pk. Сумма всех Pk состоит из 23 сумм вида Pn+P(n+1). Каждая из таких сумм не превышает 14, поэтому сумма всех Pk не превышает 23*14=322. Осталось рассмотреть 666-14*46=22 книги, стоящих с края полки. Пусть число книг по белой магии с номерами с 645 по 652 равно A1, с номерами с 653 по 658 — A2 и с номерами с 659 по 666 — A3. Номера книг с 659 по 666 отличаются на 14 от номеров с 645 по 652, поэтому сумма A1 + A3 не превышает 8. Число A2 не превышает общего числа книг с номерами с 653 по 658, то есть 6. Поэтому общее число книг по белой магии на полке не превышает 322+8+6=336.

Докажем, что можно разместить книги по белой магии так, чтобы достичь этого числа. Пусть книги по белой магии имеют номера с 28k-27 по 28k-14 при k от 1 до 24. В этом случае никакие две книги по белой магии не имеют номера, отличающиеся на 14, то есть не стоят через 13 книг. Общее число книг по белой магии равно 14*24=336.

На столе лежат 5 часов со стрелками. Нужно переводя часы только вперёд добиться того, чтобы часы показывали одинаковое время. За какое минимальное суммарное время перевода это можно сделать при любых начальных положениях стрелок часов?

Пусть часы X с минимальным временем перевода переведены на время Δt. Тогда остальные часы сразу переведены до начального положения часов X, а затем дополнительно на Δt. Очевидно, не имеет смысл делать Δt положительным, так как это только увеличивает общее время перевода, поэтому Δt = 0.

Обозначим положения часов по ходу часовой стрелки A, Б, В, Г, Д, а интервалы между ними по ходу часовой стрелки AБ, БВ, ВГ, ГД, ДА. Сумма интервалов даёт полный круг, то есть AБ+БВ+ВГ+ГД+ДА = 12 ч.

Чтобы перевести все часы к часам A, нужно суммарное время перевода SA = 4ДА + 3ГД + 2ВГ + БВ. Чтобы перевести все часы к часам Б, нужно суммарное время перевода SБ = 4АБ + 3ДА + 2ГД + ВГ. Аналогично, SВ = 4БВ + 3АБ + 2ДА + ГД, SГ = 4ВГ + 3БВ + 2АБ + ДА, SД = 4ГД + 3ВГ + 2БВ + АБ. Сумма SА + SБ + SВ + SГ + SД = 10АБ + 10БВ + 10ВГ + 10ГД + 10ДА = 10(АБ+БВ+ВГ+ГД+ДА)=120 ч. Следовательно, при любых положениях стрелок, минимальное из слагаемых не больше (120 ч)/5 = 24 ч.

Чтобы доказать, что существует такое начальное положение стрелок, при котором меньше чем за 24 ч перевода нельзя добиться одинакового положения стрелок всех часов, рассмотрим случай, когда все суммы SА, SБ, SВ, SГ, SД равны. Это имеет место при равенстве интервалов между часами, то есть когда пять часов стоят через одинаковые интервалы в (12 ч)/5 = 2.4 ч = 2 ч 24 мин. Например, когда первые часы показывают 12.00, вторые — 2.24, третьи — 4.48, четвёртые — 7.12, а пятые — 9.36.

На столе лежат 5 часов со стрелками. Нужно переводя часы вперёд или назад добиться того, чтобы часы показывали одинаковое время. За какое минимальное суммарное время перевода это можно сделать при любых начальных положениях стрелок часов?

Задача разбивается на 2 случая. В случае, когда никакие два соседних интервала между часами не дают в сумме больше 6 часов, можно использовать тот же подход, что и в предыдущей задаче. Случай, когда два соседних интервала между часами дают в сумме больше 6 часов, нужно рассматривать отдельно. Ответ: 14 ч 24 мин.

Joke

Harry Potter wakes up with terrible headache. He asks Ginny:
- What was yesterday?
- You were visiting Malfoys, and you came drunk.
After that Harry comes to Draco Malfoy and asks:
- What was yesterday?
- Come tomorrow morning to Shrieking shack and you will know.
Harry is in doubt. If he will go, that could be trap. If he will not go, Malfoy will say that Harry is coward.
Harry decides to go. Coming to Shrieking shack, he sees beaten Ron, tied to shack with ropes.
Harry asks:
- Ron, is that you?
- Yes. Harry, is that you?
- Yes.
Ron starts singing:
- Happy birthday to you!
THE END

Расчет времени ускорения

Пусть мощность (полезная) двигателя P, масса тела m, а коэффициент сопротивления (отношение силы сопротивления к скорости) k. Начальная скорость тела равна нулю. Нужно определить, как будет зависеть скорость от времени и за какое время скорость станет равной или приблизится к максимальному значению?

Дифференциальное уравнение для изменения скорости в этом случае вытекает из формул:
P = Fт v
Fс = k v
m dv/dt = Fт – Fс = P/v – k v
Это уравнение вида v'(t) = f(v), в котором можно разделить переменные:
dt = m dv / (P/v – k v) = m v dv / (P – k v^2) = – m/(2k) d(P/k – v^2) / (P/k – v^2) = – m/(2k) d(ln(P/k – v^2))
d(t + m/(2k) ln(P/k – v^2)) = 0
Так как начальная скорость равна нулю, то
t + m/(2k) ln(P/k – v^2) = m/(2k) ln(P/k)
t = – m/(2k) ln(1 – k v^2 / P)
k v^2 / P = 1 – exp(–2kt/m)
v = sqrt(P(1 – exp(–2kt/m))/k)

График  v sqrt(k/P) от kt/m не зависит от значений параметров и имеет следующий вид:



Как видно из графика, характерное значение kt/m для выхода на постоянную скорость составляет несколько единиц, возьмём 2, поэтому характерное время выхода на постоянную скорость составляет 2m/k.
Для t = 2m/k скорость составляет примерно 99% от максимальной.

Влияние накипи на время нагрева чайника до кипения

У нас есть спираль (параметры P, C_1, T_1), вода (C_2, T_2), воздух T_0
Теплообмен между спиралью и водой описывается коэффициентом a_1, между водой и воздухом – a_2
Уравнения изменения температур
(C_1 dT_1)/dt= P – a_1 (T_1-T_2 )
(C_2 dT_2)/dt= a_1 (T_1-T_2 )-a_2 (T_2-T_0 )
T_1 (t=0)=T_0, T_2 (t=0)=T_0, T_2 (t=t_b )= T_b (кипение)
 С учётом накипи
a_1=(a_10 a_нак)/(a_10+ a_нак )
a_нак=λS/d
Оценим параметры:
C_1 = 60 Дж/К (*соответствует стальной спирали с диаметром 1 см и длиной 20 см*)
C_2 = 4200 Дж/К (*соответствует 1 кг воды*)
P = 1500 Вт
a_10 = 300 Вт/К
a_2 = 0,1 Вт/К
T_0 = 20 °C
T_b = 100 °C
λ = 1 Вт/(м•К)
S = 0,006 м^2
Посмотрим, как зависит время нагрева t_b (с) от толщины накипи (м) при этих условиях:

Расход времени и электроэнергии зависит от толщины накипи примерно линейно.
Расход увеличивается на 10 % при накипи толщиной в 4 мм (оценка).

Задача Кейли

В задаче Кейли рассматривается движение тяжёлой цепи, находящейся на краю горизонтальной плоскости, вызванное свисанием малого участка цепи. Считается, что вся цепь, кроме свисающего участка неподвижна и сосредоточена в одной точке, при этом цепь считается нерастяжимой. Введём прямоугольную декартову систему координат, связанную с покоящимся концом цепочки. Пусть длина покоящейся части цепи зависит от времени по закону l₁(t). Пусть координаты любой точки цепи имеют вид x(l,t), y(l,t), где l – длина участка цепи от покоящегося конца до этой точки. В силу нерастяжимости цепи (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1. Само по себе это условие не противоречит сосредоточенности цепи в одной точке. Например, зависимости x = r cos (l/r), y = r sin (l/r) при устремлении r к нулю позволяют уменьшить область координат, занятую цепью до сколь угодно малых размеров. Для точки цепочки, которая находится на границе покоящейся части в данный момент времени, выполняются соотношения: x(l₁(t),t)=0, y(l₁(t),t)=0, (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0, (∂y/∂t) (l₁(t),t)=0. Дифференцируя первое соотношение, получим (∂x/∂l) l₁’(t) + (∂x/∂t) = 0, с учётом (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0 отсюда следует, (∂x/∂l) l₁’(t) = 0 при l=l₁(t). Аналогично доказывается (∂y/∂l) l₁’(t) = 0. Возводя эти соотношения в квадрат и складывая, получим ((∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²) (l₁’(t))²=0. С учётом условия неразрывности (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1 отсюда следует l₁’(t) = 0, l₁=const. Таким образом, из сосредоточенности и нерастяжимости покоящейся части верёвки следует, что длина этой части является постоянной. Это приводит нас к тому, что задача Кейли является неполной.