Удаление сайтов

У меня было два неподдерживаемых сайта, один на платформе narod.ru (которая перешла к ucoz.ru),  второй на платформе sites.google.com. Я решил их удалить. Наиболее интересные страницы с этого сайта я буду публиковать в формате блога сюда.

Немного задач

Есть квадратная таблица n × n. В некоторых ячейках стоят крестики. Каждый крестик является единственным в своей строке или в своём столбце (или и там, и там). Какое максимальное число крестиков может стоять в таблице?

Разделим все крестики на строчные (единственные в своей строке) и столбцовые (единственные в своём столбце).

Если общее число крестиков больше n, то есть как минимум одна строка с двумя крестиками и как минимум один столбец с двумя крестиками. Следовательно, число строчных крестиков не больше n–1 и число столбцовых крестиков не больше n–1. Следовательно, общее число крестиков в этом случае ее больше 2n–2.

Если общее число крестиков не больше n, такого ограничения нет. Поэтому общее число крестиков равно максимальному из чисел n и 2n–2.

Общее число крестиков не больше n при n ≤ 2 и 2n–2 при n ≥ 2.

Доказательство возможности достижения такого числа крестиков:

Чтобы достигнуть n крестиков, нужно просто поставить все крестики в одну строку или в один столбец.

Чтобы достигнуть 2n-2 крестиков, нужно заполнить одну любую строку и один любой столбец крестиками, но не заполнять общую ячейку этих строки и столбца.

ABCD — квадрат, BE=EC, отрезок EA пересекает BC, угол EAD = 75°. Какова градусная мера угла BEC?

Строим равносторонний треугольник AOD на стороне AD так, что отрезок OD пересекает AC. Тогда угол EAO = AEO = 15° ⇒ OE=AO=AB ⇒ ABEO — параллелограмм ⇒ BE=EC=BC ⇒ угол BEC = 60°

На полке стоят 666 книг по белой и чёрной магии. Никакие две из книг по белой магии не стоят через 13 книг. Какое максимальное число книг по белой магии может стоять на полке?

Пронумеруем книги на полке от одного края. Книги с номерами i и i+14 не могут быть одновременно книгами по белой магии. Обозначим число книг по белой магии имеющих номера с 14k–13 по 14k при k от 1 до 46, как Pk. Сумма всех Pk состоит из 23 сумм вида Pn+P(n+1). Каждая из таких сумм не превышает 14, поэтому сумма всех Pk не превышает 23*14=322. Осталось рассмотреть 666-14*46=22 книги, стоящих с края полки. Пусть число книг по белой магии с номерами с 645 по 652 равно A1, с номерами с 653 по 658 — A2 и с номерами с 659 по 666 — A3. Номера книг с 659 по 666 отличаются на 14 от номеров с 645 по 652, поэтому сумма A1 + A3 не превышает 8. Число A2 не превышает общего числа книг с номерами с 653 по 658, то есть 6. Поэтому общее число книг по белой магии на полке не превышает 322+8+6=336.

Докажем, что можно разместить книги по белой магии так, чтобы достичь этого числа. Пусть книги по белой магии имеют номера с 28k-27 по 28k-14 при k от 1 до 24. В этом случае никакие две книги по белой магии не имеют номера, отличающиеся на 14, то есть не стоят через 13 книг. Общее число книг по белой магии равно 14*24=336.

На столе лежат 5 часов со стрелками. Нужно переводя часы только вперёд добиться того, чтобы часы показывали одинаковое время. За какое минимальное суммарное время перевода это можно сделать при любых начальных положениях стрелок часов?

Пусть часы X с минимальным временем перевода переведены на время Δt. Тогда остальные часы сразу переведены до начального положения часов X, а затем дополнительно на Δt. Очевидно, не имеет смысл делать Δt положительным, так как это только увеличивает общее время перевода, поэтому Δt = 0.

Обозначим положения часов по ходу часовой стрелки A, Б, В, Г, Д, а интервалы между ними по ходу часовой стрелки AБ, БВ, ВГ, ГД, ДА. Сумма интервалов даёт полный круг, то есть AБ+БВ+ВГ+ГД+ДА = 12 ч.

Чтобы перевести все часы к часам A, нужно суммарное время перевода SA = 4ДА + 3ГД + 2ВГ + БВ. Чтобы перевести все часы к часам Б, нужно суммарное время перевода SБ = 4АБ + 3ДА + 2ГД + ВГ. Аналогично, SВ = 4БВ + 3АБ + 2ДА + ГД, SГ = 4ВГ + 3БВ + 2АБ + ДА, SД = 4ГД + 3ВГ + 2БВ + АБ. Сумма SА + SБ + SВ + SГ + SД = 10АБ + 10БВ + 10ВГ + 10ГД + 10ДА = 10(АБ+БВ+ВГ+ГД+ДА)=120 ч. Следовательно, при любых положениях стрелок, минимальное из слагаемых не больше (120 ч)/5 = 24 ч.

Чтобы доказать, что существует такое начальное положение стрелок, при котором меньше чем за 24 ч перевода нельзя добиться одинакового положения стрелок всех часов, рассмотрим случай, когда все суммы SА, SБ, SВ, SГ, SД равны. Это имеет место при равенстве интервалов между часами, то есть когда пять часов стоят через одинаковые интервалы в (12 ч)/5 = 2.4 ч = 2 ч 24 мин. Например, когда первые часы показывают 12.00, вторые — 2.24, третьи — 4.48, четвёртые — 7.12, а пятые — 9.36.

На столе лежат 5 часов со стрелками. Нужно переводя часы вперёд или назад добиться того, чтобы часы показывали одинаковое время. За какое минимальное суммарное время перевода это можно сделать при любых начальных положениях стрелок часов?

Задача разбивается на 2 случая. В случае, когда никакие два соседних интервала между часами не дают в сумме больше 6 часов, можно использовать тот же подход, что и в предыдущей задаче. Случай, когда два соседних интервала между часами дают в сумме больше 6 часов, нужно рассматривать отдельно. Ответ: 14 ч 24 мин.

Joke

Harry Potter wakes up with terrible headache. He asks Ginny:
- What was yesterday?
- You were visiting Malfoys, and you came drunk.
After that Harry comes to Draco Malfoy and asks:
- What was yesterday?
- Come tomorrow morning to Shrieking shack and you will know.
Harry is in doubt. If he will go, that could be trap. If he will not go, Malfoy will say that Harry is coward.
Harry decides to go. Coming to Shrieking shack, he sees beaten Ron, tied to shack with ropes.
Harry asks:
- Ron, is that you?
- Yes. Harry, is that you?
- Yes.
Ron starts singing:
- Happy birthday to you!
THE END

Расчет времени ускорения

Пусть мощность (полезная) двигателя P, масса тела m, а коэффициент сопротивления (отношение силы сопротивления к скорости) k. Начальная скорость тела равна нулю. Нужно определить, как будет зависеть скорость от времени и за какое время скорость станет равной или приблизится к максимальному значению?

Дифференциальное уравнение для изменения скорости в этом случае вытекает из формул:
P = Fт v
Fс = k v
m dv/dt = Fт – Fс = P/v – k v
Это уравнение вида v'(t) = f(v), в котором можно разделить переменные:
dt = m dv / (P/v – k v) = m v dv / (P – k v^2) = – m/(2k) d(P/k – v^2) / (P/k – v^2) = – m/(2k) d(ln(P/k – v^2))
d(t + m/(2k) ln(P/k – v^2)) = 0
Так как начальная скорость равна нулю, то
t + m/(2k) ln(P/k – v^2) = m/(2k) ln(P/k)
t = – m/(2k) ln(1 – k v^2 / P)
k v^2 / P = 1 – exp(–2kt/m)
v = sqrt(P(1 – exp(–2kt/m))/k)

График  v sqrt(k/P) от kt/m не зависит от значений параметров и имеет следующий вид:



Как видно из графика, характерное значение kt/m для выхода на постоянную скорость составляет несколько единиц, возьмём 2, поэтому характерное время выхода на постоянную скорость составляет 2m/k.
Для t = 2m/k скорость составляет примерно 99% от максимальной.

Влияние накипи на время нагрева чайника до кипения

У нас есть спираль (параметры P, C_1, T_1), вода (C_2, T_2), воздух T_0
Теплообмен между спиралью и водой описывается коэффициентом a_1, между водой и воздухом – a_2
Уравнения изменения температур
(C_1 dT_1)/dt= P – a_1 (T_1-T_2 )
(C_2 dT_2)/dt= a_1 (T_1-T_2 )-a_2 (T_2-T_0 )
T_1 (t=0)=T_0, T_2 (t=0)=T_0, T_2 (t=t_b )= T_b (кипение)
 С учётом накипи
a_1=(a_10 a_нак)/(a_10+ a_нак )
a_нак=λS/d
Оценим параметры:
C_1 = 60 Дж/К (*соответствует стальной спирали с диаметром 1 см и длиной 20 см*)
C_2 = 4200 Дж/К (*соответствует 1 кг воды*)
P = 1500 Вт
a_10 = 300 Вт/К
a_2 = 0,1 Вт/К
T_0 = 20 °C
T_b = 100 °C
λ = 1 Вт/(м•К)
S = 0,006 м^2
Посмотрим, как зависит время нагрева t_b (с) от толщины накипи (м) при этих условиях:

Расход времени и электроэнергии зависит от толщины накипи примерно линейно.
Расход увеличивается на 10 % при накипи толщиной в 4 мм (оценка).

Задача Кейли

В задаче Кейли рассматривается движение тяжёлой цепи, находящейся на краю горизонтальной плоскости, вызванное свисанием малого участка цепи. Считается, что вся цепь, кроме свисающего участка неподвижна и сосредоточена в одной точке, при этом цепь считается нерастяжимой. Введём прямоугольную декартову систему координат, связанную с покоящимся концом цепочки. Пусть длина покоящейся части цепи зависит от времени по закону l₁(t). Пусть координаты любой точки цепи имеют вид x(l,t), y(l,t), где l – длина участка цепи от покоящегося конца до этой точки. В силу нерастяжимости цепи (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1. Само по себе это условие не противоречит сосредоточенности цепи в одной точке. Например, зависимости x = r cos (l/r), y = r sin (l/r) при устремлении r к нулю позволяют уменьшить область координат, занятую цепью до сколь угодно малых размеров. Для точки цепочки, которая находится на границе покоящейся части в данный момент времени, выполняются соотношения: x(l₁(t),t)=0, y(l₁(t),t)=0, (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0, (∂y/∂t) (l₁(t),t)=0. Дифференцируя первое соотношение, получим (∂x/∂l) l₁’(t) + (∂x/∂t) = 0, с учётом (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0 отсюда следует, (∂x/∂l) l₁’(t) = 0 при l=l₁(t). Аналогично доказывается (∂y/∂l) l₁’(t) = 0. Возводя эти соотношения в квадрат и складывая, получим ((∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²) (l₁’(t))²=0. С учётом условия неразрывности (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1 отсюда следует l₁’(t) = 0, l₁=const. Таким образом, из сосредоточенности и нерастяжимости покоящейся части верёвки следует, что длина этой части является постоянной. Это приводит нас к тому, что задача Кейли является неполной.

Складываемый коврик

В статье А. Рыбакова "Сохранение импульса, уравнение Мещерского и банджи-джампинг" (см., например, http://elementy.ru/lib/431740) приводится олимпиадная задача о складываемом коврике:

Узкий длинный ковер (ковровая дорожка) лежит на полу. Конец ковра загибают и тянут назад со скоростью v. Масса единицы длины ковра равна ρ. Какую силу F прикладывают к концу ковра?

Автор статьи применяет закон сохранения импульса в форме уравнения Мещерского и получает, что сила с которой тянут равна F = ρv2/2. Проверка закона сохранения энергии, показывает, что половина работы этой силы теряется. Автор делает вывод, что "массивные гибкие связи нельзя считать идеальными — при движении точки перегиба мы обязательно теряем заметную часть механической энергии".

То, что в этой задаче есть неоднозначность, было замечено впервые не мной (см., например, комментарии к английскому изданию, где была опубликована эта задача, на странице http://www.amazon.co.uk/review/R1R2EAOKNGHL9R)

Ниже приводится решение данной задачи, не противоречащее ни закону сохранения импульса, ни закону сохранения энергии. Решение основано на двух предположениях о характере движения коврика, которые не противоречат решению Рыбакова.

Предположение первое: форма поверхности изгиба не меняется при движении коврика

x(y) = x1(y) + vt/2

dx = v/2 dt + dx1

dx1 = x1' dy

dx12 + dy2 = (v/2 dt)2

dy = v dt / (2 √(1+x1'2))

dx1 = v x1' dt / (2 √(1+x1'2))

dx = v/2 dt  (1 + x1' / √(1+x1'2))

vx = v/2 (1 + x1' / √(1+x1'2))

ax = dvx/dy · dy/dt = dvx/dy · v / (2 √(1+x1'2))

dm = ρ dl = ρ √(1+x1'2) dy

dFx = dm ax = ρ √(1+x1'2) dy · dvx/dy · v / (2 √(1+x1'2)) ⇒ dFx/dy = ρ v/2 · dvx/dy

Fx = C + ρv/2 vx = C1 + ρv2/4 · x1' / √(1+x1'2)

x1'(0)=–∞

x1'(h)=∞

Fx(y=0) = C1 – ρv2/4 = –Fтр

Fx(y=h) = C1 + ρv2/4 = F

Предположение второе: при x1'=0, Fx=0 (то есть в крайней левой точке коврика, где касательная к коврику вертикальна, сила натяжения направлена вертикально)

Тогда C1=0 и F = Fтр = ρv2/4

Закон сохранения импульса

F + Fтр = ρv2/2

Закон сохранения энергии

Fv = ρv2/2 · v/2

Проблема в решении у Рыбакова — в неучёте силы трения.

Если бы не было силы трения, то нижний кончик бы выскользнул из под верхнего.

Это происходит в реальном эксперименте, когда нижний кончик становится достаточно коротким.