Joke

Harry Potter wakes up with terrible headache. He asks Ginny:
- What was yesterday?
- You were visiting Malfoys, and you came drunk.
After that Harry comes to Draco Malfoy and asks:
- What was yesterday?
- Come tomorrow morning to Shrieking shack and you will know.
Harry is in doubt. If he will go, that could be trap. If he will not go, Malfoy will say that Harry is coward.
Harry decides to go. Coming to Shrieking shack, he sees beaten Ron, tied to shack with ropes.
Harry asks:
- Ron, is that you?
- Yes. Harry, is that you?
- Yes.
Ron starts singing:
- Happy birthday to you!
THE END

Расчет времени ускорения

Пусть мощность (полезная) двигателя P, масса тела m, а коэффициент сопротивления (отношение силы сопротивления к скорости) k. Начальная скорость тела равна нулю. Нужно определить, как будет зависеть скорость от времени и за какое время скорость станет равной или приблизится к максимальному значению?

Дифференциальное уравнение для изменения скорости в этом случае вытекает из формул:
P = Fт v
Fс = k v
m dv/dt = Fт – Fс = P/v – k v
Это уравнение вида v'(t) = f(v), в котором можно разделить переменные:
dt = m dv / (P/v – k v) = m v dv / (P – k v^2) = – m/(2k) d(P/k – v^2) / (P/k – v^2) = – m/(2k) d(ln(P/k – v^2))
d(t + m/(2k) ln(P/k – v^2)) = 0
Так как начальная скорость равна нулю, то
t + m/(2k) ln(P/k – v^2) = m/(2k) ln(P/k)
t = – m/(2k) ln(1 – k v^2 / P)
k v^2 / P = 1 – exp(–2kt/m)
v = sqrt(P(1 – exp(–2kt/m))/k)

График  v sqrt(k/P) от kt/m не зависит от значений параметров и имеет следующий вид:



Как видно из графика, характерное значение kt/m для выхода на постоянную скорость составляет несколько единиц, возьмём 2, поэтому характерное время выхода на постоянную скорость составляет 2m/k.
Для t = 2m/k скорость составляет примерно 99% от максимальной.

Влияние накипи на время нагрева чайника до кипения

У нас есть спираль (параметры P, C_1, T_1), вода (C_2, T_2), воздух T_0
Теплообмен между спиралью и водой описывается коэффициентом a_1, между водой и воздухом – a_2
Уравнения изменения температур
(C_1 dT_1)/dt= P – a_1 (T_1-T_2 )
(C_2 dT_2)/dt= a_1 (T_1-T_2 )-a_2 (T_2-T_0 )
T_1 (t=0)=T_0, T_2 (t=0)=T_0, T_2 (t=t_b )= T_b (кипение)
 С учётом накипи
a_1=(a_10 a_нак)/(a_10+ a_нак )
a_нак=λS/d
Оценим параметры:
C_1 = 60 Дж/К (*соответствует стальной спирали с диаметром 1 см и длиной 20 см*)
C_2 = 4200 Дж/К (*соответствует 1 кг воды*)
P = 1500 Вт
a_10 = 300 Вт/К
a_2 = 0,1 Вт/К
T_0 = 20 °C
T_b = 100 °C
λ = 1 Вт/(м•К)
S = 0,006 м^2
Посмотрим, как зависит время нагрева t_b (с) от толщины накипи (м) при этих условиях:

Расход времени и электроэнергии зависит от толщины накипи примерно линейно.
Расход увеличивается на 10 % при накипи толщиной в 4 мм (оценка).

Задача Кейли

В задаче Кейли рассматривается движение тяжёлой цепи, находящейся на краю горизонтальной плоскости, вызванное свисанием малого участка цепи. Считается, что вся цепь, кроме свисающего участка неподвижна и сосредоточена в одной точке, при этом цепь считается нерастяжимой. Введём прямоугольную декартову систему координат, связанную с покоящимся концом цепочки. Пусть длина покоящейся части цепи зависит от времени по закону l₁(t). Пусть координаты любой точки цепи имеют вид x(l,t), y(l,t), где l – длина участка цепи от покоящегося конца до этой точки. В силу нерастяжимости цепи (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1. Само по себе это условие не противоречит сосредоточенности цепи в одной точке. Например, зависимости x = r cos (l/r), y = r sin (l/r) при устремлении r к нулю позволяют уменьшить область координат, занятую цепью до сколь угодно малых размеров. Для точки цепочки, которая находится на границе покоящейся части в данный момент времени, выполняются соотношения: x(l₁(t),t)=0, y(l₁(t),t)=0, (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0, (∂y/∂t) (l₁(t),t)=0. Дифференцируя первое соотношение, получим (∂x/∂l) l₁’(t) + (∂x/∂t) = 0, с учётом (∂x/∂t) (l₁(t),t)=0 отсюда следует, (∂x/∂l) l₁’(t) = 0 при l=l₁(t). Аналогично доказывается (∂y/∂l) l₁’(t) = 0. Возводя эти соотношения в квадрат и складывая, получим ((∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²) (l₁’(t))²=0. С учётом условия неразрывности (∂x/∂l)²+(∂y/∂l)²=1 отсюда следует l₁’(t) = 0, l₁=const. Таким образом, из сосредоточенности и нерастяжимости покоящейся части верёвки следует, что длина этой части является постоянной. Это приводит нас к тому, что задача Кейли является неполной.

Складываемый коврик

В статье А. Рыбакова "Сохранение импульса, уравнение Мещерского и банджи-джампинг" (см., например, http://elementy.ru/lib/431740) приводится олимпиадная задача о складываемом коврике:

Узкий длинный ковер (ковровая дорожка) лежит на полу. Конец ковра загибают и тянут назад со скоростью v. Масса единицы длины ковра равна ρ. Какую силу F прикладывают к концу ковра?

Автор статьи применяет закон сохранения импульса в форме уравнения Мещерского и получает, что сила с которой тянут равна F = ρv2/2. Проверка закона сохранения энергии, показывает, что половина работы этой силы теряется. Автор делает вывод, что "массивные гибкие связи нельзя считать идеальными — при движении точки перегиба мы обязательно теряем заметную часть механической энергии".

То, что в этой задаче есть неоднозначность, было замечено впервые не мной (см., например, комментарии к английскому изданию, где была опубликована эта задача, на странице http://www.amazon.co.uk/review/R1R2EAOKNGHL9R)

Ниже приводится решение данной задачи, не противоречащее ни закону сохранения импульса, ни закону сохранения энергии. Решение основано на двух предположениях о характере движения коврика, которые не противоречат решению Рыбакова.

Предположение первое: форма поверхности изгиба не меняется при движении коврика

x(y) = x1(y) + vt/2

dx = v/2 dt + dx1

dx1 = x1' dy

dx12 + dy2 = (v/2 dt)2

dy = v dt / (2 √(1+x1'2))

dx1 = v x1' dt / (2 √(1+x1'2))

dx = v/2 dt  (1 + x1' / √(1+x1'2))

vx = v/2 (1 + x1' / √(1+x1'2))

ax = dvx/dy · dy/dt = dvx/dy · v / (2 √(1+x1'2))

dm = ρ dl = ρ √(1+x1'2) dy

dFx = dm ax = ρ √(1+x1'2) dy · dvx/dy · v / (2 √(1+x1'2)) ⇒ dFx/dy = ρ v/2 · dvx/dy

Fx = C + ρv/2 vx = C1 + ρv2/4 · x1' / √(1+x1'2)

x1'(0)=–∞

x1'(h)=∞

Fx(y=0) = C1 – ρv2/4 = –Fтр

Fx(y=h) = C1 + ρv2/4 = F

Предположение второе: при x1'=0, Fx=0 (то есть в крайней левой точке коврика, где касательная к коврику вертикальна, сила натяжения направлена вертикально)

Тогда C1=0 и F = Fтр = ρv2/4

Закон сохранения импульса

F + Fтр = ρv2/2

Закон сохранения энергии

Fv = ρv2/2 · v/2

Проблема в решении у Рыбакова — в неучёте силы трения.

Если бы не было силы трения, то нижний кончик бы выскользнул из под верхнего.

Это происходит в реальном эксперименте, когда нижний кончик становится достаточно коротким.

Архипов

Попалось на глаза интересное название «книги»: Закон распределения и перераспределения энергии.

Помимо лженауки, там есть и перлы. Такое ощущение, что они оставлены специально. Вот из Введения:

Теоретическая работа имеет прикладной характер и выполнена под математической оболочкой для исключения ошибок логического мышления человека.

...

Известно, что до 60 годов значения графиков функций практиковались в науке, и их выводы всегд подтверждались экспериментально, но, в связи со сложностью работ, наука от них отказалась. Это была ошибка.

В науке нет лёгких путей, а будет ещё труднее при использовании более сложных математических приёмов (самым сложным математическим приёмом в книге, таки не позволившим мне её осилить, было взятие цифр с потолка — примечание И.К.).

...

все дисциплины и направления в естествознании – равноправны, и от каждого направления есть пять ответвлений, от которых в свою очередь есть ещё пять и так далее по цепной реакции. Для развития научно-технического прогресса на Земле и сохранения всех тел в природе, необходимо много учиться и много работать.

Гори, гори, моя звезда...

Гори, гори, моя звезда,
Мой свет, далёкий, но бесценный.
Тебе лишь верю я тогда,
Когда приходит час сомнений.
Ты мне укажешь верный путь,
Когда врата почти закрылись,
Меня твой ободряет луч,
Когда и руки опустились.
В тот час, когда кругом темно,
Ты одаряешь щедро светом,
С тобой совсем не тяжело
Быть тёплым под холодным ветром.
Когда наступит смерть моя,
Твой свет мою очистит душу,
И с блеском твоего луча
Я Вечный суд пройти не струшу.
Когда же кончен будет суд,
Приму я тихо свою участь
И завершу свой скорбный труд
Не ноя, не скуля, не мучась.