В треугольнике ABC сторона AB=6, AC=10, медиана AD=√19. Найдите ∠A.
Способ 1. Проведём высоту AE. Обозначим DE=x, BE=y, AE=h. Тогда CD=x+y, CE=2x+y.
Запишем теорему Пифагора для треугольников AEB, AED и AEC: (2x+y)2+h2=100, x2+h2=19, y2+h2=36 ⇒ y2−x2=17, 4x2+4xy=64 ⇒ x2+xy=16, y2+xy=33 ⇒ x2+2xy+y2=49, y2−x2=17 ⇒ x+y=7, y−x=17/7 ⇒ y=33/7, x=16/7. h2=19−x2=675/49⇒h=15√37. Площадь треугольника ABC равна S=AC⋅h/2=(2x+2y)h/2=(x+y)h=15√3. С другой стороны, площадь треугольника ABC равна S=12⋅6⋅10⋅sin∠A=30sin∠A ⇒sin∠A=√32. Отсюда следует, что угол A равен или 60° или 120°. Поскольку y>30/7>h, то угол BAE больше 45° и CAE больше 45°, поэтому угол A больше 90°. Следовательно, угол A равен 120°.
Способ 2. Первый способ позволяет найти x+y=7, отсюда следует BC=14. Дальше применяем теорему косинусов: 196=100+36−2⋅6⋅10cos∠A⇒cos∠A=−1/2⇒ угол A равен 120°.
Способ 3. Продлим прямую AD и отложим на ней отрезок DF=AD. Соединив точку F с точками B и C, получим параллелограмм.
Применим теорему косинусов для треугольника ABF: 4⋅19=100+36−2⋅6⋅10cos∠ABF⇒cos∠ABF=1/2⇒ угол ABF равен 60° ⇒ угол A равен 120°.
Способ 4. Если использовать свойство диагоналей параллелограмма, можно найти длину стороны BC: AF2+BC2=2(AB2+AC2)⇒ BC=14. Дальше применяем теорему косинусов, как в способе 2.
Способ 5. До этого во всех способах мы использовали для определения углов известные значения их тригонометрических функций. Но с учётом того, что ответ 120°, можно обойтись и без этого. Проведём построение как в способе 3. Отметим на отрезке BF точку G такую, что BG=6. Обозначим H — точку пересечения прямых AG и CF. Поскольку угол CHA равен углу BAG, а угол CAG равен углу BGA, то треугольники BAG и CHA подобны. Отсюда следует, что CH=CA=10. Тогда FH=4. Треугольник FHG также подобен треугольнику BAG. Обозначим AG=6z, тогда из подобия следует GH=4z. Проведём в равнобедренном FGH высоту FI. Тогда GI=IH=2z.
Запишем теорему Пифагора для треугольников AFI и GFI: 4⋅19=FI2+(8z)2, 16=FI2+(2z)2⇒76−16=64z2−4z2⇒z=1. Отсюда следует AG=6, поэтому треугольник BAG является равносторонним, следовательно, угол ABG равен 60°, следовательно, угол A равен 120°.