Одна задача

В треугольнике ABC сторона AB=6, AC=10, медиана AD=$\sqrt{19}$. Найдите $\angle$A.

Способ 1. Проведём высоту AE. Обозначим DE=$x$, BE=$y$, AE=$h$. Тогда CD=$x+y$, CE=$2x+y$.

Запишем теорему Пифагора для треугольников AEB, AED и AEC: $(2x+y)^2+h^2=100$, $x^2+h^2=19$, $y^2+h^2=36$ $\Rightarrow$ $y^2-x^2=17$, $4x^2+4xy=64$ $\Rightarrow$ $x^2+xy=16$, $y^2+xy=33$ $\Rightarrow$ $x2+2xy+y^2=49$, $y^2-x^2=17$ $\Rightarrow$ $x+y=7$, $y-x=17/7$ $\Rightarrow$ $y=33/7$, $x=16/7$. $h^2=19-x^2=675/49 \Rightarrow h = \frac{15\sqrt{3}}{7}$. Площадь треугольника ABC равна $S=$AC$\cdot h/2=(2x+2y)h/2=(x+y)h=15\sqrt{3}$. С другой стороны, площадь треугольника ABC равна $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin\angle$A$=30 \sin\angle$A $\Rightarrow\sin\angle$A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда следует, что угол A равен или 60° или 120°. Поскольку $y>30/7>h$, то угол BAE больше 45° и CAE больше 45°, поэтому угол A больше 90°. Следовательно, угол A равен 120°.

Способ 2. Первый способ позволяет найти $x+y=7$, отсюда следует BC$=14$. Дальше применяем теорему косинусов: $196=100+36-2\cdot 6\cdot 10\cos\angle$A$\Rightarrow\cos\angle$A$=-1/2\Rightarrow$ угол A равен 120°.

Способ 3. Продлим прямую AD и отложим на ней отрезок DF=AD. Соединив точку F с точками B и C, получим параллелограмм.

Применим теорему косинусов для треугольника ABF: $4\cdot 19=100+36-2\cdot 6\cdot 10\cos\angle$ABF$\Rightarrow\cos\angle$ABF$=1/2\Rightarrow$ угол ABF равен 60° $\Rightarrow$ угол A равен 120°.

Способ 4. Если использовать свойство диагоналей параллелограмма, можно найти длину стороны BC: AF$^2+$BC$^2=2($AB$^2+$AC$^2) \Rightarrow$ BC$=14$. Дальше применяем теорему косинусов, как в способе 2.

Способ 5. До этого во всех способах мы использовали для определения углов известные значения их тригонометрических функций. Но с учётом того, что ответ 120°, можно обойтись и без этого. Проведём построение как в способе 3. Отметим на отрезке BF точку G такую, что BG=6. Обозначим H — точку пересечения прямых AG и CF. Поскольку угол CHA равен углу BAG, а угол CAG равен углу BGA, то треугольники BAG и CHA подобны. Отсюда следует, что CH=CA=10. Тогда FH=4. Треугольник FHG также подобен треугольнику BAG. Обозначим AG$=6z$, тогда из подобия следует GH=$4z$. Проведём в равнобедренном FGH высоту FI. Тогда GI=IH=$2z$.

Запишем теорему Пифагора для треугольников AFI и GFI: $4\cdot 19=FI^2+(8z)^2$, $16=FI^2+(2z)^2 \Rightarrow 76-16=64z^2-4z^2 \Rightarrow z=1$. Отсюда следует AG=6, поэтому треугольник BAG является равносторонним, следовательно, угол ABG равен 60°, следовательно, угол A равен 120°.