В треугольнике ABC сторона AB=6, AC=10, медиана AD=\(\sqrt{19}\). Найдите \(\angle\)A.
Способ 1. Проведём высоту AE. Обозначим DE=\(x\), BE=\(y\), AE=\(h\). Тогда CD=\(x+y\), CE=\(2x+y\).
Запишем теорему Пифагора для треугольников AEB, AED и AEC: \((2x+y)^2+h^2=100\), \(x^2+h^2=19\), \(y^2+h^2=36\) \(\Rightarrow\) \(y^2-x^2=17\), \(4x^2+4xy=64\) \(\Rightarrow\) \(x^2+xy=16\), \(y^2+xy=33\) \(\Rightarrow\) \(x2+2xy+y^2=49\), \(y^2-x^2=17\) \(\Rightarrow\) \(x+y=7\), \(y-x=17/7\) \(\Rightarrow\) \(y=33/7\), \(x=16/7\). \(h^2=19-x^2=675/49 \Rightarrow h = \frac{15\sqrt{3}}{7}\). Площадь треугольника ABC равна \(S=\)AC\(\cdot h/2=(2x+2y)h/2=(x+y)h=15\sqrt{3}\). С другой стороны, площадь треугольника ABC равна \(S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin\angle\)A\(=30 \sin\angle\)A \(\Rightarrow\sin\angle\)A=\(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Отсюда следует, что угол A равен или 60° или 120°. Поскольку \(y>30/7>h\), то угол BAE больше 45° и CAE больше 45°, поэтому угол A больше 90°. Следовательно, угол A равен 120°.
Способ 2. Первый способ позволяет найти \(x+y=7\), отсюда следует BC\(=14\). Дальше применяем теорему косинусов: \(196=100+36-2\cdot 6\cdot 10\cos\angle\)A\(\Rightarrow\cos\angle\)A\(=-1/2\Rightarrow\) угол A равен 120°.
Способ 3. Продлим прямую AD и отложим на ней отрезок DF=AD. Соединив точку F с точками B и C, получим параллелограмм.
Применим теорему косинусов для треугольника ABF: \(4\cdot 19=100+36-2\cdot 6\cdot 10\cos\angle\)ABF\(\Rightarrow\cos\angle\)ABF\(=1/2\Rightarrow\) угол ABF равен 60° \(\Rightarrow\) угол A равен 120°.
Способ 4. Если использовать свойство диагоналей параллелограмма, можно найти длину стороны BC: AF\(^2+\)BC\(^2=2(\)AB\(^2+\)AC\(^2) \Rightarrow\) BC\(=14\). Дальше применяем теорему косинусов, как в способе 2.
Способ 5. До этого во всех способах мы использовали для определения углов известные значения их тригонометрических функций. Но с учётом того, что ответ 120°, можно обойтись и без этого. Проведём построение как в способе 3. Отметим на отрезке BF точку G такую, что BG=6. Обозначим H — точку пересечения прямых AG и CF. Поскольку угол CHA равен углу BAG, а угол CAG равен углу BGA, то треугольники BAG и CHA подобны. Отсюда следует, что CH=CA=10. Тогда FH=4. Треугольник FHG также подобен треугольнику BAG. Обозначим AG\(=6z\), тогда из подобия следует GH=\(4z\). Проведём в равнобедренном FGH высоту FI. Тогда GI=IH=\(2z\).
Запишем теорему Пифагора для треугольников AFI и GFI: \(4\cdot 19=FI^2+(8z)^2\), \(16=FI^2+(2z)^2 \Rightarrow 76-16=64z^2-4z^2 \Rightarrow z=1\). Отсюда следует AG=6, поэтому треугольник BAG является равносторонним, следовательно, угол ABG равен 60°, следовательно, угол A равен 120°.
