Разделим все крестики на строчные (единственные в своей строке) и столбцовые (единственные в своём столбце).
Если общее число крестиков больше n, то есть как минимум одна строка с двумя крестиками и как минимум один столбец с двумя крестиками. Следовательно, число строчных крестиков не больше n–1 и число столбцовых крестиков не больше n–1. Следовательно, общее число крестиков в этом случае ее больше 2n–2.
Если общее число крестиков не больше n, такого ограничения нет. Поэтому общее число крестиков равно максимальному из чисел n и 2n–2.
Общее число крестиков не больше n при n ≤ 2 и 2n–2 при n ≥ 2.
Доказательство возможности достижения такого числа крестиков:
Чтобы достигнуть n крестиков, нужно просто поставить все крестики в одну строку или в один столбец.
Чтобы достигнуть 2n-2 крестиков, нужно заполнить одну любую строку и один любой столбец крестиками, но не заполнять общую ячейку этих строки и столбца.
ABCD — квадрат, BE=EC, отрезок EA пересекает BC, угол EAD = 75°. Какова градусная мера угла BEC?
Строим равносторонний треугольник AOD на стороне AD так, что отрезок OD пересекает AC. Тогда угол EAO = AEO = 15° ⇒ OE=AO=AB ⇒ ABEO — параллелограмм ⇒ BE=EC=BC ⇒ угол BEC = 60°
На полке стоят 666 книг по белой и чёрной магии. Никакие две из книг по белой магии не стоят через 13 книг. Какое максимальное число книг по белой магии может стоять на полке?
Пронумеруем книги на полке от одного края. Книги с номерами i и i+14 не могут быть одновременно книгами по белой магии. Обозначим число книг по белой магии имеющих номера с 14k–13 по 14k при k от 1 до 46, как Pk. Сумма всех Pk состоит из 23 сумм вида Pn+P(n+1). Каждая из таких сумм не превышает 14, поэтому сумма всех Pk не превышает 23*14=322. Осталось рассмотреть 666-14*46=22 книги, стоящих с края полки. Пусть число книг по белой магии с номерами с 645 по 652 равно A1, с номерами с 653 по 658 — A2 и с номерами с 659 по 666 — A3. Номера книг с 659 по 666 отличаются на 14 от номеров с 645 по 652, поэтому сумма A1 + A3 не превышает 8. Число A2 не превышает общего числа книг с номерами с 653 по 658, то есть 6. Поэтому общее число книг по белой магии на полке не превышает 322+8+6=336.
Докажем, что можно разместить книги по белой магии так, чтобы достичь этого числа. Пусть книги по белой магии имеют номера с 28k-27 по 28k-14 при k от 1 до 24. В этом случае никакие две книги по белой магии не имеют номера, отличающиеся на 14, то есть не стоят через 13 книг. Общее число книг по белой магии равно 14*24=336.
На столе лежат 5 часов со стрелками. Нужно переводя часы только вперёд добиться того, чтобы часы показывали одинаковое время. За какое минимальное суммарное время перевода это можно сделать при любых начальных положениях стрелок часов?
Пусть часы X с минимальным временем перевода переведены на время t. Тогда остальные часы сразу переведены до начального положения часов X, а затем дополнительно на t. Очевидно, не имеет смысл делать t положительным, так как это только увеличивает общее время перевода, поэтому t = 0.
Обозначим положения часов по ходу часовой стрелки A, Б, В, Г, Д, а интервалы между ними по ходу часовой стрелки AБ, БВ, ВГ, ГД, ДА. Сумма интервалов даёт полный круг, то есть AБ+БВ+ВГ+ГД+ДА = 12 ч.
Чтобы перевести все часы к часам A, нужно суммарное время перевода SA = 4ДА + 3ГД + 2ВГ + БВ. Чтобы перевести все часы к часам Б, нужно суммарное время перевода SБ = 4АБ + 3ДА + 2ГД + ВГ. Аналогично, SВ = 4БВ + 3АБ + 2ДА + ГД, SГ = 4ВГ + 3БВ + 2АБ + ДА, SД = 4ГД + 3ВГ + 2БВ + АБ. Сумма SА + SБ + SВ + SГ + SД = 10АБ + 10БВ + 10ВГ + 10ГД + 10ДА = 10(АБ+БВ+ВГ+ГД+ДА)=120 ч. Следовательно, при любых положениях стрелок, минимальное из слагаемых не больше (120 ч)/5 = 24 ч.
Чтобы доказать, что существует такое начальное положение стрелок, при котором меньше чем за 24 ч перевода нельзя добиться одинакового положения стрелок всех часов, рассмотрим случай, когда все суммы SА, SБ, SВ, SГ, SД равны. Это имеет место при равенстве интервалов между часами, то есть когда пять часов стоят через одинаковые интервалы в (12 ч)/5 = 2.4 ч = 2 ч 24 мин. Например, когда первые часы показывают 12.00, вторые — 2.24, третьи — 4.48, четвёртые — 7.12, а пятые — 9.36.
На столе лежат 5 часов со стрелками. Нужно переводя часы вперёд или назад добиться того, чтобы часы показывали одинаковое время. За какое минимальное суммарное время перевода это можно сделать при любых начальных положениях стрелок часов?
Задача разбивается на 2 случая. В случае, когда никакие два соседних интервала между часами не дают в сумме больше 6 часов, можно использовать тот же подход, что и в предыдущей задаче. Случай, когда два соседних интервала между часами дают в сумме больше 6 часов, нужно рассматривать отдельно. Ответ: 14 ч 24 мин.
